Что есть волновое число k?
Формальное определение: нормальная мода на окружности для каждого фиксированного "к" определяется как сумма ортогональных мод синуса и косинуса:
Ортогональные моды получаются друг из друга поворотом на угол равный \frac{\pi}{2k} (пи деленное на 2 к). Например, при k=5:
Замечу, что в теории групп "к" принято отсчитывать не от 0, а от 1, так что 2(k-1) есть число точек пересечения нормальной моды к с окружностью:
Если не пользоваться теорией групповых симметрий, то для наглядности удобнее нумеровать "к" с 0, тк при этом "к" имеет смысл числа циклической симметрии, те нормальная "к" мода циклически симметрична с углом /frac{2\pi}{k} (два пи делить на "к").
Если рассмотреть колебания нормальной моды окружности с фиксированной частотой "омега" на "n", то, учитывая, что при комплекснозначном спектре имеем (результат преобразования Фурье по времени сигнала ускорений - комплекснозначный) будем иметь как положительные волновые числа, так и отрицательные, т.е. разложение по нормальным модам будет иметь вид:
Таким образом, можно представить колебания в виде суммы нормальных мод с волновыми числами плюс/минус "к", т.е. каждая такая мода состоит из двух, распространяющихся по и против часовой стрелки, в зависимости от знака "к":
Если при этом амплитуды \rho^1_k (ро один к) и \rho^2_k (ро два к) волн с положительным и отрицательным числом равны, то в резульнате суперпозиции получается стоячая волна на окружности:
Если же амплитуда \rho^1_k (ро один к) и \rho^2_k (ро два к) волн с положительным и отрицательным числом окажутся разными, то - получится бегущая волна (что в случае моего мотора физически нереально, т.е. амплитуды волн с плюсом и минусом должны быть примерно равны):
При k=0 имеем равномерное вздутие-сжатие (в английской терминологии - breathing mode / дыхательная мода) и фазовый угол тут неважен.
При k=1 и равных амплитудах \rho^1_1 (ро один один) и \rho^2_1 (ро два один) волн с положительным и отрицательным числом имеем, так называемый, дисбаланс ротора, а фазовый сдвиг между модами с положительным и отрицательным k (фи один k минус фи два k) определяет направление поступательного движения:
При неравных амплитудах \rho^1_1 (ро один один) и \rho^2_1 (ро два один) волн с положительным и отрицательным числом - имеем прецессию оси ротора по элиптической траектории:
При k=2 и равных амплитудах \rho^1_2 (ро один два) и \rho^2_2 (ро два два) волн с положительным и отрицательным числом имеем, так называемую, моду "овализации":
Единственную из всех эту моду мне удалось простучать модальным молоточком, подвесив корпус мотора со статором, но с извлеченным ротором на упругой подвеске:
Поясню, что я не наклеивал датчики в 48 точках, а пользовался техникой roving hammer, в которой используется один неподвижный датчик ускорений, а последовательно простукиваются все точки каркаса wireframe. Правда так можно делать только для линейных систем (когда выполняется reciprocity principle, затрудняюсь как это по-русски), т.е. передаточная функция должна быть одинаковая если поменять местами точку, в которой измеряется датчиком ускорения и точку, в которой измеряется импульс силы при ударе молоточком.
Для тех, кто сталкивался с гиперболическими системами уравнений, будет понятна интерпретация волн с положительными и отрицательными волновыми числами в качестве пары характристик (вдоль характеристики величина сохраняется):
